Ejercicios resueltos de colas

EJERCICIOS DE TEORIA DE COLAS

Problema 1.

Las llegadas a una sucursal bancaria por parte de una población supuesta infinita puede modelarse según un proceso de Poisson con tiempo medio entre llegadas de 2 minutos. Dentro de la sucursal, los clientes pueden realizar dos tipos de gestiones A y B (ver figura).

En el sistema A, los circuitos CA modelan el comportamiento de los oficinistas (que realizan gestiones del tipo A) y en el sistema B, el circuito CB modela el comportamiento del director de la sucursal (que realiza gestiones del tipo B). La probabilidad de que un cliente quiera hacer gestiones del tipo A es 0,8.

Calcular:
(a) Tráfico ofrecido y cursado por cada uno de los sistemas.
(b) Tiempo medio de espera de los clientes que quieren hacer gestiones del tipo A y tiempo medio de espera de los clientes que quieren hacer gestiones del tipo B.
(c) En una jornada laboral (8h) ¿cuántos clientes atenderá el director de la sucursal?.
(d) Si los clientes tipo A escogen al azar a los oficinistas que están libres, ¿cuántos clientes atenderá cada oficinista durante las 8h de trabajo?.

 

Problema 2. 

Sean dos sistemas A y B formados por 2 servidores y sin cola de espera. En el sistema A la ocupación de los circuitos es aleatoria mientras que en el sistema B la ocupación es secuencial. Calcular:
(a) Las probabilidades de estado de cada uno de los sistemas.
(b) La probabilidad de tener un circuito ocupado (para ambos sistemas).
(c) La probabilidad de tener el primer circuito ocupado (para ambos sistemas).
(d) Número medio de circuitos ocupados (para ambos sistemas).
(e) Evaluar los apartados (b) (c) y (d) si TO = 2E.

 

Problema 3. 

Dos poblaciones A y B infinitas generan un tráfico de Poisson de tasas lA = 200 llamadas/h y lB = 400 llamadas/h respectivamente. Las peticiones de ambas poblaciones son atendidas por un grupo de m = 25 circuitos con un tiempo medio de servicio de 3 minutos. Asumiendo un modelo con pérdidas, calcular:
(a) El tráfico ofrecido por cada población.
(b La probabilidad de bloqueo para las poblaciones A y B.
(c) El tráfico cursado para las poblaciones A y B.
(d) El tráfico rechazado de las poblaciones A y B.
(e) La probabilidad de que una llamada cursada sea de A y la probabilidad de que sea de B.
(f) La probabilidad de que una llamada rechazada provenga de la población A y de que provenga de la población B.

 

 

Problema 4.

 Un nodo de conmutación de circuitos se modela mediante una cola M/M/m/m de parámetros l y m.
Definiendo el intérvalo de máxima ocupación como aquel durante el cual todos los recursos están ocupados, determinar:
(a) La función de densidad del tiempo de duración de un intérvalo de máxima ocupación.
(b) La probabilidad de que se produzca algún intento de llamada durante un intérvalo de máxima ocupación.
(c) El número medio de llamadas rechazadas durante un intérvalo de máxima ocupación.
(d) El número medio de llamadas rechazadas consecutivamente.

 

Problema 5. 

Sea un sistema M/M/2 donde los servidores tienen diferentes tasas de servicio m1 y m2 (con m2 < m1).
Asumir que un usuario que llega cuando el sistema está vacío, se encamina hacia el servidor más rápido. Calcular:
(a) Las probabilidades de estado en régimen estacionario.
(b) El rango de valores de l para los que se garantiza la estabilidad del sistema.